Platonismo pleno y estructuralismo.

El platonismo es, en filosofía de la matemática, la doctrina de mayor tradición. En su sentido moderno, considera que los objetos matemáticos existen en forma independiente de cualquier agente cognitivo y no tienen determinaciones espacio-temporales. Su principal mérito es postular una transparente correspondencia entre los planos lingüístico y ontológico. Así, del mismo modo que bajo la perspectiva de una semántica tarskiana Juan es gordo es verdadera si solo si existe un individuo al que Juan denota y este individuo tiene la propiedad de ser gordo, o sea, pertenece a una clase denotada por el adjetivo gordo; 2 es par es verdadera si solo si existe un objeto denotado por 2 que pertenece a la clase de los pares. Esta es la enorme fuerza del platonismo matemático: nos permite aplicar uniformemente una misma semántica sobre las proposiciones matemáticas y las propias de otras ciencias. Dos cuestionamientos fundamentales al platonismo matemático fueron planteados por Paul Benacerraf, quien en “Mathematical Truth” y “What numbers could not be?”, puso a consideración dos argumentos según los cuales si el platonismo matemático fuese correcto, entonces no tendríamos conocimiento matemático y los números no pueden ser objetos. La primera de las anteriores frases resaltadas surge como conclusión de lo que ha llegado a ser conocido como argumento epistemológico contra el platonismo (AECP). La segunda de las frases, que afirma que los números no pueden ser objetos, surge de una elaboradísima argumentación mediante la cual Benacerraf muestra la posibilidad de elegir objetos arbitrarios para que funjan como números, y la imposibilidad de señalar racionalmente que alguna de las elecciones no es correcta. El cuestionamiento acerca del carácter objetual de los números llevó al desarrollo de una filosofía de la matemática llamada estructuralismo. Una de sus vertientes es inconfundiblemente platónica: la desarrollada y defendida por Stewart Shapiro. Por otro lado, el AECP ha llevado al surgimiento de numerosísimas respuestas. Entre ellas el platonismo pleno (full blooded platonism), expuesto por Balaguer en Platonism and Anti-Platonism in Mathematics. Esta doctrina tiene una particularidad muy curiosa. Normalmente se considera que los problemas de las soluciones platónicas provienen de una indebida riqueza ontológica. El platonismo pleno intenta solucionar los problemas enriqueciendo la ontología: postula que existen y son abstractos todos los objetos matemáticos posibles. El AECP quedaría respondido diciendo que al existir todos los objetos matemáticos posibles, cualquier conjunto de proposiciones consistente sobre ellos, expresará una verdad, por lo que, para tener conocimiento sobre ellos no es necesario tener acceso a ellos. Considerando que la investigación sobre los méritos relativos de ambas teorías no ha sido emprendida por nadie que no tenga propósitos apologéticos sobre una de ellas, esta investigación “externa” aspira a proporcionar una nueva mirada sobre el asunto. Principalmente, se propone evaluar los méritos de ambas teorías en cuanto a su posibilidad de respuesta a los cuestionamientos propuestos al platonismo tradicional por Benacerraf, y su comparación relativa en este mismo aspecto.