Estadística en espacios abstractos y aplicaciones en Neurociencias

El plan de trabajo contempla el estudio teórico, desarrollo, implementación y análisis de herramientas estadísticas que puedan ser aplicadas en problemas donde los datos disponibles son funciones (estadística de datos funcionales) o más generalmente datos en espacios métricos, en particular grafos aleatorios, elementos aleatorios a valores en variedades riemmanianas y trayectorias aleatorias en conjuntos del plano . Este tipo de datos aparecen en numerosas aplicaciones como salud (electrocardiogramas, EEG, imágenes de resonancia magnética), bioquímica (curvas de espectrometría), ecología ( “home range problem”: el área donde animales pasan su tiempo), biología (micro-arreglos), geofísica (imágenes satelitales, series de tiempo espaciales), entre otros. Dentro de este contexto, estamos interesados en realizar inferencias no paramétricas sobre los datos, es decir, realizar inferencias sin hacer suposiciones sobre la distribución subyacente de los mismos ni sobre la estructura de un modelo a priori. En esta dirección hemos venido trabajando activamente en los últimos años. Algunos problemas que abordaremos son los siguientes: a) estudiar la extensión de curvas principales a este contexto. En el contexto finito dimensional, existen varios métodos para resumir la información y representar a los datos por cantidades simples. El más conocido es el Análisis de Componentes principales (PCA). Dicha técnica es la más utilizada en el análisis multivariado ya que provee una primera visión de la estructura de los datos. Sin embargo, en un gran número de aplicaciones, puede ser de interés resumir la información de una manera no lineal. Este enfoque lleva a la noción de curvas principales, las cuales pueden ser pensadas como una generalización de la primera componente principal. A grandes rasgos, una curva principal es una curva parametrizada la cual pasa por el “medio” de un conjunto de datos extraídos de alguna distribución de probabilidad desconocida. b) proponer reglas de clasificación óptimas para el caso de datos funcionales construídas a partir de una familia de clasificadores dado por agregación no lineal. c) definir nociones de profundidad para grafos aleatorios, estudiar sus propiedades asintóticas y desarrollar test de hipótesis no paramétricos en ese marco. d) proponer y estudiar sus propiedades de consistencia para estimar el conjunto asociado al problema del home-range a partir de trayectorias de un movimiento browniano reflejado en la frontera (desconocida) del conjunto. e) desarrollar test de independencia para datos funcionales basados en proyecciones al azar. f) desarrollo de métodos estadísticos para elementos aleatorios a valores en variedades compactas. En los problemas b),c) e) y f) aplicaremos los resultados obtenidos a problemas de neurociencias.