Geometría algebraica y teoría de invariantes

La investigación en Uruguay en temas de geometría algebraica y teoría de invariantes data de la recuperación de la institucionalidad democrática en el país. Estas líneas de trabajo se han desarrollado paulatinamente, siendo primordial en este desarrollo la intensa actividad de cooperación con investigadores de centros de primer nivel. En una primera etapa, nos propusimos impulsar la formación de recursos humanos en el país, de modo de continuar este desarrollo. Para ello nuestra estrategia fue promover la realización de trabajos de grado y posgrado en estos temas. Esta estrategia dio sus frutos: varios estudiantes están trabajando en temas abordados por los investigadores del grupo, o muy cercanos. En esta segunda etapa, nos proponemos consolidar el crecimiento logrado, apoyando por un lado la continuación de los estudios de los jóvenes recientemente incorporados al grupo y por otro atrayendo nuevos estudiantes al mismo. El grupo de investigación pretende además convertirse en un espacio abierto a la incorporación de nuevas líneas de trabajo cercanas al estudio de los grupos de trasnformaciones y la geometría algebraica, en sus acepciones más generales. Como parte de este estrategia, destacamos la profundización de los lazos con investigadores y estudiantes que si bien no están incorporados a las líneas de trabajo del grupo, sus intereses están muy próximos (por ejemplo: Teoría de representaciones, Álgebras de Hopf). En paralelo, nos planteamos intensificar el intercambio científico con investigadores de la región y otros centros de primer nivel, así como profundizar las actividades de inserción en el medio, con particular énfasis en las aplicaciones de estos temas a actividades del sector productivo (tecnologías de la información y otros). Nos proponemos entonces continuar el desarrollo de las líneas de investigación presentadas anteriormente, agregando nuevas temáticas que recientemente han captado nuestro interés. Las líneas de investigación abordadas pueden considerarse como pertenecientes a la teoría de los Grupos de transformaciones -tomando este concepto en su acepción más general: se enfoca la geometría y/o la estructura de determinados objetos mediante el estudio de las acciones de determinados grupos sobre ellos. Por supuesto, este estudio permite a su vez obtener información acerca de los grupos en cuestión. El concepto de grupo de transformaciones permea entonces toda la matemática, Nos enfocamos aquí en algunas de estas interacciones: Grupos algebraicos de transformaciones: Teoría de invariantes y sus aspectos relativos Esquemas en monoides, su geometría y teoría de representaciones Métodos tóricos en geometría proyectiva Monoides algebraicos y sus aplicaciones Sistemas de raíces y su relación con la geometría Geometría algebraica y grupo de Cremona Transformaciones birracionales: Transformaciones de Cremona, transformaciones birracionales parametrizadas por variedades racionales. Geometría birracional y teoría de invariantes: métodos tóricos en geometría proyectiva. Estudio birracional de foliaciones algebraicas. Derivaciones en $\Bbbk$-álgebras de tipo finito. Acciones parciales de grupos: Representaciones parciales: dilatación. Acciones envolventes: globalizaciones de acciones parciales en geometria algebraica. Dualidad: globalizaciones y dualidad de productos cruzados; acciones parciales de grupoides; dualidad para álgebras graduadas sobre grupoides.