Calculo masivo de curvas elípticas usando formas cuadráticas ternarias

El proyecto tiene como objetivo el cálculo masivo de curvas elípticas. Una curva elíptica es una curva algebraica plana de grado 3, no singular. Las curvas elípticas son sumamente importantes en teoría de números y constituyen un área relevante de investigación actual. Por ejemplo, forman una parte fundamental en la demostración hecha por Wiles del último teorema de Fermat. También, son empleadas en criptografía para la creación de protocolos criptográficos muy seguros, utilizando poca información. Otra aplicación es para la factorización de enteros, herramienta fundamental en la teoría de números computacional. Un problema que se plantea es el de poder tabular todas las curvas elípticas racionales dadas por algún invariante. Para esto, elegimos el nivel de la curva elíptica. Cremona presentó un algoritmo utilizando símbolos modulares para calcular curvas elípticas dado un nivel, y algoritmos para estudiar su aritmética. Con su algoritmo, Cremona fue capaz de calcular todas las curvas elípticas racionales con nivel menor o igual a 300000, con una ultima actualización importante en el año 2012. Por otro lado, es sabido que dada una forma cuadrática ternaria, se puede construir un módulo libre asociado a ella, llamado módulo de Brandt, tal que su descomposición en espacios propios resulta en ciertas formas modulares. Con una de estas formas modulares se puede obtener una curva elíptica. Esta construcción clásica tiene ciertas restricciones y no es posible obtener a partir de ella todas las curvas elípticas. El método consiste, dado un nivel y un numero primo p, construir un grafo. Los vertices de este grafo serán las clases de equivalencia de formas cuadráticas ternarias integrales, y sus aristas estarán definidas por la relación de p-vecindad. En su tesis doctoral Tornaría presenta un refinamiento en la construcción del módulo asociado a las formas cuadráticas ternarias, eliminando algunas de las restricciones referidas anteriormente, lo que permite calcular otras curvas elípticas.