Aspectos algebraicos de las conjeturas de isomorfismos

Las conjeturas de isomorfismo en sus distintasversiones (para la $K$-teoría topológica, algebraica de Quillen, algebraica de Weibel, la $L$-teoría, etc.) proponen una fórmula para el resultado que se obtiene aplicando la teoría en cuestión a un álgebra de grupo, en función de cierta teoría de cohomología equivariante. Este formato general fue introducido por Davis y Lück. En el caso de la $K$-teoría topológica, la teoría de homología de Davis y Lück es la $K$-homología equivariante de Kasparov, que asocia a un $G$-espacio $X$, grupos $K^G_*(X)=K^{ op,G}_*(X)$, que son esencialmente los grupos bivariantes $KK_*^G(C_0(X),C)$. La conjetura de Baum-Connes dice que $K_*^G(X)cong K^{ op}_*(C_r(G))$ es la $K$-teoría topológica de la $C^*$-álgebra reducida del grupo $G$. Los grupos $K^{ op}_*$ también tienen una interpretación en términos de $KK$, para toda $C^*$-álgebra $A$, se tiene $K^{ op}_*(A)=KK_*(C,A)$. Nos proponemos investigar la interpretación de la teoría de homología que aparece en la conjetura de isomorfismo para la $K$-teoría $KH$ de Weibel en términos de $kk^G$. Se sabe que $kk_*(Z,A)=KH_*(A)$ para todo anillo $A$, y nos proponemosutilizar $kk^G$ para definir grupos $KH_*^G(X)$ y probar que $KH_*^G$ coincide con la teoría de homología de Davis-Lück para $KH$.